迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

基本思想

1. 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定一个起点D(即从顶点D开始计算)。
2. 此外，引进两个数组S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点D的距离)。
3. 初始时，数组S中只有起点D；数组U中是除起点D之外的顶点，并且数组U中记录各顶点到起点D的距离。如果顶点与起点D不相邻，距离为无穷大。
4. 然后，从数组U中找出路径最短的顶点K，并将其加入到数组S中；同时，从数组U中移除顶点K。接着，更新数组U中的各顶点到起点D的距离。
5. 重复第4步操作，直到遍历完所有顶点。

算法图解

以上图为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以顶点D为起点)。

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！

第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(13),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

代码实现

依据上述步骤思想进行实现即可，visited数组表示已加入的顶点。

import java.util.*;

public class DijkstraAlgorithm {

    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

    public static void dijkstra(int[][] graph, int source) {
        int vertices = graph.length;
        int[] distance = new int[vertices];
        boolean[] visited = new boolean[vertices];

        // 初始化距离数组为无穷大，除了起始顶点为0
        Arrays.fill(distance, INF);
        distance[source] = 0;

        for (int i = 0; i < vertices - 1; i++) {
            int minVertex = findMinDistanceVertex(distance, visited);
            visited[minVertex] = true;

            for (int j = 0; j < vertices; j++) {
                if (!visited[j] && graph[minVertex][j] != 0 && distance[minVertex] != INF &&
                        distance[minVertex] + graph[minVertex][j] < distance[j]) {
                    distance[j] = distance[minVertex] + graph[minVertex][j];
                }
            }
        }

        // 打印最短路径
        printShortestPaths(distance, source);
    }

    private static int findMinDistanceVertex(int[] distance, boolean[] visited) {
        int minDistance = INF;
        int minVertex = -1;

        for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
            if (!visited[i] && distance[i] < minDistance) {
                minDistance = distance[i];
                minVertex = i;
            }
        }

        return minVertex;
    }

    private static void printShortestPaths(int[] distance, int source) {
        System.out.println("顶点\t\t最短距离");

        for (int i = 0; i < distance.length; i++) {
            System.out.println(source + " -> " + i + "\t\t" + distance[i]);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] graph = {
                {0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},
                {4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},
                {0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2},
                {0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0},
                {0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0},
                {0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0},
                {0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6},
                {8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7},
                {0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0}
        };

        dijkstra(graph, 0);
    }
}

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