原码、反码、补码

一、机器数和机器数的真值

在学习原码，反码和补码之前， 需要先了解机器数和真值的概念。

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 100 00011 。
那么，这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。

机器数的真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131（1000 0011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原码、反码、补码的基础概念和计算方法

在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储，原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。
比如：如果是8位二进制：
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）
[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

反码

反码的表示方法是：

• 正数的反码是其本身；
• 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是：

• 正数的补码就是其本身；
• 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(也即在反码的基础上+1)

[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。

三、为何要使用原码、反码和补码

在开始深入学习前，我的学习建议是先”死记硬背”上面的原码，反码和补码的表示方式以及计算方法。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反= [0000 0001]补
所以不需要过多解释，但是对于负数：
[-1] = [10000001]原= [11111110]反= [11111111]补
可见原码，反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头) 但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！
于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。
首先来看原码：
计算十进制的表达式： 1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [1000 0010]原= -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题， 出现了反码：
计算十进制的表达式：1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现，解决了0的符号问题以及0的两个编码问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原码+ [1000 0001]原码= [0000 0001]补码+ [1111 1111]补码= [1 0000 0000]补码=[0000 0000]补码=[0000 0000]原码，注意：进位1不在计算机字长里。
这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128：-128的由来如下：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]补+ [1000 0001]补= [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补就是-128，但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补，算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

鸣谢

原码、反码、补码
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